Question

【題目】己知拋物線y=ax2+bx－3a(a>0)與x軸交于A(－1,0)、B兩點，與y軸交于點C.

(1)求點B的坐標；

(2)P是第四象限內拋物線上的一個動點.

①若∠APB=90°，且a<3，求點P縱坐標的取值范圍；

②直線PA、PB分別交y軸于點M、N求證：為定值.

Answer 1

【答案】(1) B(3,0)；(2) ①－2≤n<－，②=

【解析】

（1）把A(－1,0)代入拋物線的解析式，可得a、b的關系，代入取y=0，解方程可得B點坐標.

（2）因為P是第四象限內拋物線上的一個動點.可設設P(m,n), 且m >0, n <0，

①把P(m,n)代入函數解析式，得m、n之間的關系，根據勾股定理列出算式，求出m、n的關系，綜合可得到n與a的關系，結合拋物線的頂點坐標及n的取值范圍即可確定n的取值范圍.

②用待定系數法求直線AP、BP解析式，取x=0求出C、M、N的坐標，表示出CM、CN的長，代入計算即可.

(1)拋物線過A(－1,0)

∴0＝a－b－3a，b＝-2a，

令y=0，則ax2-2ax－3a＝0

a(x2-2x－3)＝0, 且a>0

∴B(3,0)

(2)設P(m,n), 且m >0, n <0，則n＝am2-2am－3a＝a(m2-2m-3).

①AP2=n2+ (m+1)2, BP2=n2+ (3－m)2, AB2=16.

∵∠APB=90°，

∴AP2 +BP2= AB2,即：n2+ (m+1)2+n2+ (3－m)2 =16.

整理后：n2＝－m2+2m+3

∴n2＝－，且n <0，

∴n＝－<0

又拋物線頂點(－1,4 a)

∴4a≤－<0，a≥

又∵a<3

∴≤a<3

∵－1<0，∴當≤a<3時，n隨a的增大而增大，

∴－2≤n<－

②將x＝0代入y=ax2+bx－3a得：y=－3a

∴C(0,－3a)

直線AP過點A(－1,0)、P(m,n)兩點，其解析式為：

y=a (m－3)x+ a (m－3)，M(0, am－3a)

直線BP過點B(3,0)、P(m,n)兩點，其解析式為：

y=a (m+1)x－3a (m+1)，N(0, －3am－3a)

∴CM＝|－3a－(am－3a)|=| am |

CN＝|－3a－(－3am－3a)|=|3am |

∴=