Question

【題目】定義：若一個三角形中，其中有一個內角是另外一個內角的一半，則這樣的三角形叫做“半角三角形”. 例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”.在鈍角三角形中，，，，過點的直線交邊于點．點在直線上，且．

（1）若，點在延長線上．

① 當，點恰好為中點時，依據題意補全圖1.請寫出圖中的一個“半角三角形”：_______;

② 如圖2，若，圖中是否存在“半角三角形”（△除外），若存在，請寫出圖中的“半角三角形”，并證明；若不存在，請說明理由；

（2）如圖3，若，保持的度數與（1）中②的結論相同，請直接寫出，， 滿足的數量關系：______．

Answer 1

【答案】（1）① 如圖，見解析；△或△或△或△; ②存在，“半角三角形”為△；證明見解析；（2）或．

【解析】

（1）①根據題干描述作出圖形即可，利用等腰三角形的性質，根據“一個內角是另外一個內角的一半”的三角形符合題意，可得出結果.②延長到，使得，連接，構造全等三角形△≌△．再利用全等三角形的性質以及相關角度的轉化，可求得，從而可得出結果.

（2）由（1）中②可知，，延長到點，使得，連接BF，構造全等三角形△≌△，進而可得出.因為，所以以為圓心，長為半徑作圓與直線一定有兩個交點，當第一種情況成立時，必定存在一個與它互補的，所以可得出另外一種情況.

（1）① 如圖，

圖中的一個 “半角三角形”：△或△或△或△;
② 存在，“半角三角形”為△.

延長到，使得，連接．

∵，

∴ .

∴ .

∵，

∴．

∴．

在△和△中，

∴ △≌△.

∴ ，.

∵ ，

∴ .

∴．

∴∠BAE=2∠BEA,

∴△ 為“半角三角形”.

（2）或.

解：①延長到點，使得，連接BF,

∵，，

∴△≌△.

過點分別作于點，

于點,

可得.

∴.

②因為，所以以為圓心，長為半徑作圓與直線一定有兩個交點，當第一種情況成立時，必定存在一個與它互補的．

可知：.

綜上所述，這三個角之間的關系有兩種，

或．