Question

【題目】（問題背景）

如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標是，點是軸上的一個動點.當點在軸上移動時，始終保持是等腰直角三角形，且(點、、按逆時針方向排列)；當點移動到點時，得到等腰直角三角形(此時點與點重合).

（初步探究）

(1)寫出點的坐標______.

(2)點在軸上移動過程中，當等腰直角三角形的頂點在第四象限時，連接.

求證：；

（深入探究）

(3)當點在軸上移動時，點也隨之運動.經過探究發現，點的橫坐標總保持不變，請直接寫出點的橫坐標：______.

（拓展延伸）

(4)點在軸上移動過程中，當為等腰三角形時，直接寫出此時點的坐標.

備用圖

Answer 1

【答案】(1)(1，1)；(2)證明見解析；(3)1；(4).

【解析】

根據等腰直角三角形的性質，OA=AB，題干中已知A點坐標，即可求得OB的長度，表示出B點坐標即可.

根據等腰直角三角形的性質得到，再根據等角的余角相等，得出角，最后利用三角形全等的判定方法進行判定即可.

根據（2）的結論△ABP也為直角三角形，且AB垂直BP，且AB=OB=1，即可得出P點的橫坐標.

先根據題意，確定B點、A點坐標，設出P點和C點坐標，分情況進行討論，當OP=OB時，當OB=BP時，當OP=BP時，分別利用兩點間距離公式求出點P點的坐標，然后分別算出AP的長，最后利用AP=AC計算出A點坐標即可.

解：(1)∵點A的坐標為（0，1）

△OAB是等腰直角三角形，且OA=AB，OA⊥BA

∴B點坐標為.

(2)證明：在等腰直角三角形中，，

在等腰直角三角形中，，

在和中

(3)（已證）

∴∠ABP=90°

∴PB垂直AB，P點在過B點且垂直與AB的垂線上，

∵點B的坐標為（1,1）

∴P點的橫坐標為1.

(4)由題意和（1）可知，

設P（1，y），C（x，0），

當OB=OP時，，

解得:或，

則或，

解得：，

所以C點坐標為（）或（）

同理當OB=OP時，可得C點坐標為（-2,0）

當BP=OP時，可得C點坐標為（-1,0）

故答案為：