Question

我國古代數學的許多發現都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．如圖，這個三角形的構造法則：兩腰上的數都是1，其余每個數均為其上方左右兩數之和，它給出了(a＋b)ⁿ(n為正整數)的展開式(按a的次數由大到小的順序排列)的系數規律．例如，在三角形中第三行的三個數1，2，1，恰好對應(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²展開式中的系數；第四行的四個數1，3，3，1, 恰好對應著＝a³＋3a²b＋3ab²＋b²展開式中的系數等等．

(1)根據上面的規律，寫出(a＋b)⁵的展開式．

(2)利用上面的規律計算：2⁵－5×2⁴＋10×2³－10×2²＋5×2－1.

Answer 1

分析　(1)由(a＋b)＝a＋b，(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，(a＋b)³＝a³＋3a²b＋3ab²＋b³可得(a＋b)ⁿ的各項展開式的系數除首尾兩項都是1外，其余各項系數都等于(a＋b)^n－1的相鄰兩個系數的和，由此可得(a＋b)⁴的各項系數依次為1、4、6、4、1；因此(a＋b)⁵的各項系數依次為1、5、10、10、5、1.

(2)將2⁵－5×2⁴＋10×2³－10×2²＋5×2－1寫成“楊輝三角”的展開式形式，逆推可得結果．

解　(1) (a＋b)⁵＝a⁵＋5a⁴b＋10a³b²＋10a²b³＋5ab⁴＋b⁵

(2)原式＝2⁵＋5×2⁴×(－1)＋10×2³×(－1)²＋10×2²×(－1)³＋5×2×(－1)⁴＋(－1)⁵＝(2－1)⁵＝1.