Question

19、我國古代數學的許多發現都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．如圖，這個三角形的構造法則：兩腰上的數都是1，其余每個數均為其上方左右兩數之和，它給出了（a+b）ⁿ（n為正整數）的展開式（按a的次數由大到小的順序排列）的系數規律．例如，在三角形中第三行的三個數1，2，1，恰好對應（a+b）²=a²+2ab+b²展開式中的系數；第四行的四個數1，3，3，1，恰好對應著（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b²展開式中的系數等等．

（1）根據上面的規律，寫出（a+b）⁵的展開式．
（2）利用上面的規律計算：2⁵-5×2⁴+10×2³-10×2²+5×2-1．

Answer 1

分析：（1）由（a+b）=a+b，（a+b）²=a²+2ab+b²，（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³可得（a+b）ⁿ的各項展開式的系數除首尾兩項都是1外，其余各項系數都等于（a+b）^n-1的相鄰兩個系數的和，由此可得（a+b）⁴的各項系數依次為1、4、6、4、1；因此（a+b）⁵的各項系數依次為1、5、10、10、5、1．
（2）將2⁵-5×2⁴+10×2³-10×2²+5×2-1寫成“楊輝三角”的展開式形式，逆推可得結果．

解答：解：（1）（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵（3分）

（2）原式=2⁵+5×2⁴×（-1）+10×2³×（-1）²+10×2²×（-1）³+5×2×（-1）⁴+（-1）⁵（5分）
=（2-1）⁵
=1（6分）
注：不用以上規律計算不給分．

點評：本題考查了完全平方公式，學生的觀察分析邏輯推理能力，讀懂題意并根據所給的式子尋找規律，是快速解題的關鍵．