Question

我國古代數學的許多發現都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．如圖，這個三角形的構造法則：兩腰上的數都是1，其余每個數均為其上方左右兩數之和，它給出了（a+b）ⁿ（n為正整數）的展開式（按a的次數由大到小的順序排列）的系數規律．例如，在三角形中第三行的三個數1，2，1，恰好對應（a+b）²=a²+2ab+b²展開式中的系數；第四行的四個數1，3，3，1，恰好對應著（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b²展開式中的系數等等．

（1）根據上面的規律，則（a+b）⁵的展開式=

a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

．
（2）利用上面的規律計算：2⁵-5×2⁴+10×2³-10×2²+5×2-1=

1

．

Answer 1

分析：（1）根據規律能得出（a+b）¹，（a+b）²，（a+b）³，（a+b）⁴的值，即可推出（a+b）⁵的值；
（2）根據規律得出原式=（2-1）⁵，求出即可．

解答：解：（1）∵（a+b）¹=a+b，
（a+b）²=a²+2ab+b²，
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³，
（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴，
∴（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵，
故答案為：（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵；

（2）2⁵-5×2⁴+10×2³-10×2²+5×2-1=（2-1）⁵=1⁵=1（根據（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵的逆運用得出的），
故答案為：1．

點評：本題考查了完全平方公式的應用，解此題的關鍵是找出規律，題目比較好，但是有一定的難度．