Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，3），且此拋物線的頂點坐標為M（-1，4）.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）設點D為已知拋物線對稱軸上的任意一點，當△ACD面積等于6時，求點D的坐標；

（3）點P在線段AM上，當PC與y軸垂直時，過點P作軸的垂線，垂足為E，將△PCE沿直線CB翻折，使點P的對應點P'與P、E、C處在同一平面內，請求出P'坐標，并判斷點P'是否在拋物線上.

Answer 1

【答案】(1) ；M（-1,4）；（2）點D的坐標為（-1，-2）或（-1，6）.

；（3）點P′不在該拋物線上．

【解析】分析：（1）由拋物線經過的C點坐標以及頂點M的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線解析式；

（2）設點D坐標為（﹣1，yD），根據△ACD的面積=6，即可得出關于yD含絕對值符號的一元一次方程，解方程即可得出結論；

（3）作點P關于直線CE的對稱點P′，過點P′作PH⊥y軸于H，設P′E交y軸于點N．根據對稱的性質即可得出△EON≌△CP′N，從而得出CN=NE，由點A、M的坐標利用待定系數法可求出直線AM的解析式，進而得出點P的坐標．在Rt△P′NC中，由勾股定理可求出CN的值，再由相似三角形的性質以及線段間的關系即可找出點P′的坐標，將其代入拋物線解析式中看等式是否成立，由此即可得出結論．

詳解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經過點C（0，3），頂點為M（﹣1，4），∴，解得：，∴所求拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3．

（2）依照題意畫出圖形，如圖1所示．

令y=﹣x2﹣2x+3=0，解得：x=﹣3或x=1，故A（﹣3，0），B（1，0），∴OA=OC，△AOC為等腰直角三角形．

設AC交對稱軸x=﹣1于F（﹣1，yF），由點A（﹣3，0）、C（0，3）可知直線AC的解析式為y=x+3，∴yF=﹣1+3=2，即F（﹣1，2）．

設點D坐標為（﹣1，yD），則S△ADC=DFAO=×|yD﹣2|×3=6．

解得：yD=﹣2或yD=6，∴點D的坐標為（﹣1，﹣2）或（﹣1，6）．

（3）如圖2，點P′為點P關于直線CE的對稱點，過點P′作PH⊥y軸于H，設P′E交y軸于點N．

在△EON和△CP′N中，，∴△EON≌△CP′N（AAS）．

設NC=m，則NE=m．

∵A（﹣3，0）、M（﹣1，4）可知直線AM的解析式為y=2x+6，∴當y=3時，x=﹣，即點P（﹣，3），∴P′C=PC=，P′N=3﹣m．在Rt△P′NC中，由勾股定理，得：+（3﹣m）2=m2，解得：m=．

∵S△P′NC=CNP′H=P′NP′C，∴P′H=．

由△CHP′∽△CP′N可得：，∴CH==，∴OH=3﹣=，∴P′的坐標為（）．

將點P′（）代入拋物線解析式，得：y=﹣﹣2×+3=≠，∴點P′不在該拋物線上．