Question

【題目】如圖，是圓的直徑，是圓的切線，交圓于點，點是的中點，連接.

（1）求證：

（2）求證：四點共圓

（3）滿足什么條件時，經過的圓與相切？并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見詳解；（2）見詳解；（3）等腰直角三角形.

【解析】

(1)連接AD,根據直徑所對的圓周角是直角,可證得∠ADB=90°,再利用鄰角互補的性質可得∠ADC=90°,再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,可得AE=DE,由等邊對等角可證得∠DAE=∠ADE,又由OA=OD,可得∠OAD=∠ODA,從而有∠OAD+∠DAE =∠ODA+∠ADE,再由切線的性質可得∠OAD+∠DAE =90°,從而結論得證;

(2)欲證四點共圓,只須證得四點到某一點的距離相等即可;

(3)由(1)可知AD⊥BC,所以要使經過的圓與相切,則AD必為直徑,由(2)可知OE必為直徑,從而易證四邊形OAED為正方形,從而有DE∥AB,且DE=AB,所以D為BC的中點,而AD⊥BC,故可知為等腰直角三角形.

(1)

證明:如圖所示,連接AD,

∵是圓的切線，

∴∠BAE=90°

∴∠BAD+∠DAE=90°,

∵是圓的直徑，

∴∠ADB=∠ADC=90°.

∵點是的中點，

∴AE=DE.

∴∠DAE=∠ADE,

∴∠BAD+∠ADE =90°.

∵OD=OA,

∴∠BAD=∠ODA.

∴∠ODA+∠ADE =90°.

即∠ODE=90°.

∴.

(2)

證明:如圖所示,連接OE,取OE的中點P,連接PA,PD.

由(1)可知∠OAE=ODE=90°,

∵點P是OE的中點,

∴PA=PO=PE=PD,

∴四點共圓.

(3) 當是等腰直角三角形時，經過的圓與相切.

理由如下:如圖所示：

設⊙P為經過的圓.

∵是等腰直角三角形,

∴AB=AC,∠B=∠C=45°.

∵OB=OD,

∴∠B=∠ODB=45°.

∵O,E分別為AB,AC的中點，

∴OE∥BC.

∴∠POD=∠ODB=45°.

∵PO=PD，

∴∠PDO=∠POD=45°.

∴∠PDB=∠PDO+∠ODB =45°+45°=90°.

即PD⊥BC，

∴BC與圓P相切.

即當是等腰直角三角形時，經過的圓與相切.