Question

如圖，把矩形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)C與A重合．
（1）只使用直尺和圓規(guī)，作出折痕EF，其與AD交于F，BC于E，并作出點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′．
（2）連接AE、CF，猜想四邊形AECF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．
（3）當(dāng)AB=12，AD=18時(shí)，求折痕EF長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接AC，作AC的垂直平分線，延長(zhǎng)CD交垂直平分線于G，連接AG，在AG上截取AD′=CD即可；
（2）先證明△AOF≌△COE，得到AF∥CE，AF=CE，從而判斷出四邊形AECF為平行四邊形，再根據(jù)AF=CF判斷出四邊形AECF為菱形．
（3）在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)，從而在Rt△ABC中求出EO的長(zhǎng)．

解答：解：（1）

（2）如圖，∵∠AOF=∠COE，AO=CO，∠FAO=∠ECO，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=CE．
故AF∥CE，AF=CE，
所以四邊形AECF為平行四邊形，
又因?yàn)锳F=CF，
所以四邊形AECF為菱形．

（3）設(shè)BE=x，則EC=AE=18-x，
故在Rt△ABE中，（18-x）²=x²+12²，
解得，x=5．
∵菱形對(duì)角線互相平分，
∴AO=CO，
在Rt△ABC中，
AC=

122+182

=6

13

，
AO=3

13

，
EO²=AE²-AO²=13²-（3

13

）²=52，
∴EO=2

13

，
∴EF=4

13

．

點(diǎn)評(píng)：此題將翻折不變性、勾股定理、菱形的判定和性質(zhì)及作圖有機(jī)結(jié)合在一起，綜合性較強(qiáng)，考查知識(shí)點(diǎn)全面，有一定難度．