Question

【題目】在平面直角坐標系中，點坐標為軸上點，將線段繞著點順時針旋轉得到，過點作直線軸于，過點作直線于．

（1）當點是的中點時，求直線的函數表達式．

（2）當時，求的面積．

（3）在直線上是否存在點，使得？若存在，試用的代數式表示點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）存在，，，，

【解析】

（1）證明Rt△APO≌Rt△PED，得到EDPO，DO=OP+PD=OP+AO=3，求出點E(，)，P(，0)，將點代入解析式即可求解；

（2）由（1）的全等可得到PD=3，DE=5，所以S△APE3×53×3=3；

（3）假設在直線l上存在點G，使得∠APO=∠PFD+∠PGD，由旋轉可知△APO≌△PED，得到AP=PE，AO=PD=3，PO=ED=t；由AODF是矩形，得到DF=AO=3=PD．

①當P點在x軸負半軸，G點在x軸下方時，△GPE∽△GFP，得到，進而GP2=GEGF，得到G(3+t，)；由對稱性可得當P點在x軸負半軸，G點在x軸上方時G的坐標；

②當P在x軸正半軸，G點在x軸下方時，△PFG∽△EFP，則有，得到G(3+t，)；由對稱性可得當P在x軸正半軸，G點在x軸上方時G的坐標．

（1）∵線段AP繞點P順時針旋轉90°得到PE，

∴AP=PE，∠APE=90°．

∵∠APO+∠EPD=∠APO+∠OAP=90°，

∴∠EPD=∠OAP．

∵∠EDP=∠POA=90°，

∴Rt△APO≌Rt△PED(AAS)

∴OP=ED，AO=PD．

∵OA=3，點E是DF的中點，

∴EDPO，

∴DO=OP+PD=OP+AO=3，

∴E(，)，P(，0)．

設直線PE的解析式為y=kx+b，

∴，

∴，

∴y；

（2）∵Rt△APO≌Rt△PED，

∴OP=ED，AO=PD．

∵OA=3，OP=5，

∴PD=3，DE=5，

∴S△FPE3×53×3=3；

（3）假設在直線l上存在點G，使得∠APO=∠PFD+∠PGD，

由旋轉可知△APO≌△PED，

∴AP=PE，AO=PD=3，PO=ED=t，∠APO=∠PED；

∵∠AOD=∠ODF=∠AFD=90°，

∴四邊形AODF是矩形，

∴DF=AO=3，

∴PD=DF=3．

①當P點在x軸負半軸，G點在x軸下方時．

∵∠APO=∠PFD+∠PGD，∠APO=∠PED，

∴∠PED=∠PFD+∠PGD．

∵∠PED=∠GPE+∠PGD，

∴∠GPE=∠PFD．

∵∠PGE=∠PGE，

∴△GPE∽△GFP，

∴，

∴GP2=GEGF．

設G(m，y)．

∵PD=3，

∴D(3+t，0)，

∴m=3+t，

∴GE=t-y，GF=3-y，

∴，解得：y=，

∴DG，

∴G(3+t，)；

由對稱性可知：當P在x軸負半軸，G點在x軸上方時，G(3+t，)；

②當P在x軸正半軸，G點在x軸下方時．

∵∠APO=∠PFD+∠PGD，

∠PED=∠APO，

∴∠FPE=∠PGF，

∴△PFG∽△EFP，

∴，

∵△APO≌△PED，

∴OP=ED，AO=PD，

∴E(t+3，t)，P(t，0)，F(t+3，3)，

∴，

∴FG，

∴G(3+t，)；

由對稱性可知：當P在x軸正半軸，G點在x軸上方時，G(3+t，)；

綜上所述：G(3+t，)或G(3+t，)或G(3+t，)或G(3+t，)．