Question

如圖，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標系中，A，B兩點坐標分別為（3，0）和（0，3

3

）．動點P從A點開始沿折線AO-OB-BA運動，點P在AO，OB，BA上運動，速度分別為1，

3

，2（長度單位/秒）．一直尺的上邊緣l從x軸的位置開始以

3

3

（長度單位/秒）的速度向上平行移動（即移動過程中保持l∥x軸），且分別與OB，AB交于E，F兩點﹒設動點P與動直線l同時出發，運動時間為t秒，當點P沿折線AO-OB-BA運動一周時，直線l和動點P同時停止運動．
請解答下列問題：
（1）過A，B兩點的直線解析式是

 

；
（2）當t﹦4時，點P的坐標為

 

；當t﹦

 

，點P與點E重合；
（3）①作點P關于直線EF的對稱點P′．在運動過程中，若形成的四邊形PEP′F為菱形，則t的值是多少？
②當t﹦2時，是否存在著點Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）考查了待定系數法求一次函數；
（2）此題要掌握點P的運動路線，要掌握點P在不同階段的運動速度，即可求得；
（3）①此題需要分三種情況分析：點P在線段OA上，在線段OB上，在線段AB上；根據菱形的判定可知：在線段EF的垂直平分線上與x軸的交點，可求的一個；當點P在線段OB上時，形成的是三角形，不存在菱形；當點P在線段BA上時，根據對角線互相平分且互相垂直的四邊形是菱形求得．
②當t﹦2時，可求的點P的坐標，即可確定△BEP，根據相似三角形的判定定理即可求得點Q的坐標，解題時要注意答案的不唯一性．

解答：解：（1）y=-

3

x+3

3

；（4分）

（2）（0，

3

），t=

9

2

；（4分）（各2分）

（3）①當點P在線段AO上時，過F作FG⊥x軸，G為垂足（如圖1）
∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°
∴△EOP≌△FGP，∴OP=PG﹒
又∵OE=FG=

3

3

t，∠A=60°，∴AG=

FG

tan60°

=

1

3

t
而AP=t，
∴OP=3-t，PG=AP-AG=

2

3

t
由3-t=

2

3

t得t=

9

5

；（1分）
當點P在線段OB上時，形成的是三角形，不存在菱形；
當點P在線段BA上時，
過P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分別為垂足（如圖2）
∵OE=

3

3

t，∴BE=3

3

-

3

3

t，∴EF=

BE

tan60°

=3-

t

3

∴MP=EH=

1

2

EF=

9-t

6

，又∵BP=2（t-6）
在Rt△BMP中，BP•cos60°=MP
即2（t-6）•

1

2

=

9-t

6

，解得t=

45

7

．（1分）
綜上所述，t為

9

5

或

45

7

時，四邊形PEP'F為菱形．

②存在﹒理由如下：
∵t=2，∴OE=

2

3

3

，AP=2，OP=1
將△BEP繞點E順時針方向旋轉90°，得到△B'EC（如圖3）
∵OB⊥EF，
∴點B'在直線EF上，
∵C點橫坐標絕對值等于EO長度，C點縱坐標絕對值等于EO-PO長度
∴C點坐標為（-

2

3

3

，

2

3

3

-1）
過F作FQ∥B'C，交EC于點Q，
則△FEQ∽△B'EC
由

BE

FE

=

B′E

FE

=

CE

QE

=

3

，可得Q的坐標為（-

2

3

，

3

3

）（1分）
根據對稱性可得，Q關于直線EF的對稱點Q'（-

2

3

，

3

）也符合條件．（1分）

點評：此題考查了待定系數法求一次函數的解析式，還考查了菱形的性質與判定以及相似三角形的判定與性質，解題的關鍵要注意數形結合思想的應用，還要注意答案的不唯一性．