Question

【題目】某市新建了圓形文化廣場，小杰和小浩準備不同的方法測量該廣場的半徑.

（1）小杰先找圓心，再量半徑，請你在圖1中，用尺規作圖的方法幫小杰找到該廣場的圓心（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）小浩在廣場邊（如圖2）選取、、三根石柱，量得、之間的距離與、之間的距離相等，并測得長為240米，到的距離為5米.請你幫他求出廣場的半徑；

（3）請你解決下面的問題：如圖3，的直徑為，弦，是弦上的一個動點，求出的長度范圍是多少？

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）廣場的半徑1443米；（3）.

【解析】

（1）作出弦的垂直平分線，再結合垂徑定理推論得出圓心位置；

（2）設圓心為O，連結 OA、OB，OA交BC于D，根據A、B之間的距離與A、C之間的距離相等，得出，從而得出BD=DC=BC，再根據勾股定理得出OB2=OD2+BD2，設OB=x，即可求出廣場的半徑；

（3）過點O作OE⊥AB于點E，連接OB，由垂徑定理可知AE=BE=AB，再根據勾股定理求出OE的長，由此可得出結論．

解：如圖1所示，在圓中作任意2條弦的垂直平分線，由垂徑定理可知這2條垂直平分線必定與圓的2條直徑重合，所以交點即為所求；

（2）如圖2，連結、，交于，

∵，

∴，

∴，

∴（米），

由題意，

在中，，

設，則，

解得：，

，

∴廣場的半徑1443米.

（3）如圖3，過點作于點，連接，

∵，

∴，

∵的直徑為，

∴，

∴，

∵垂線段最短，半徑最長，

∴.