Question

【題目】如圖①，長方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在邊CD上取一點E，將△ADE折疊后點D恰好落在BC邊上的點F．

（1）求CE的長；

（2）建立平面直角坐標系如圖②所示，在x軸上找一點P，使PA+PE的值最小，求出最小值和點P的坐標；

（3）如圖③，DE的延長線與AF的延長線交于點G，在y軸上是否存在點M，使△FGM是直角三角形？如果存在，求出點M的坐標：如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3（2）P（，0），最小值為（3）存在；M坐標為（0，﹣）或（0，﹣4.5）

【解析】

（1）設CE＝x，知DE＝EF＝8﹣x，由AD＝AF＝10，AB＝8知BF＝6，CF＝4，根據CE2+CF2＝EF2求解可得．

（2）作點E關于x軸的對稱點Q，連接AQ，與x軸的交點即為所求，先得出DQ的長度，再根據AQ＝可得最小值；再求出直線AQ解析式為y＝﹣x+8，據此進一步求解可得．

（3）先證△AOF∽△GCF得，據此求得G（10，﹣），根據點M（0，a），F（6，0）知MF2＝a2+36，GM2＝102+（a+）2，FG2＝16+（）2，分MF2+GM2＝FG2，FG2+GM2＝MF2，FG2+MF2＝GM2三種情況分別求解可得．

（1）如圖①，

設CE＝x，

則DE＝EF＝8﹣x，

∵AD＝AF＝10，AB＝8，

∴BF＝6，

∴CF＝4，

在Rt△CEF中，由CE2+CF2＝EF2得x2+42＝（8﹣x）2，

解得x＝3，即CE＝3；

（2）如圖②，作點E關于x軸的對稱點Q，連接AQ，與x軸的交點即為所求．

則CE＝CQ＝3，

∴點Q（10，﹣3），

∴DQ＝CD+CQ＝11，

∴AQ＝＝＝，

由A（0，8），Q（10，﹣3）可得直線AQ解析式為y＝﹣x+8，

當y＝0時，﹣x+8＝0，

解得：x＝，

所以點P（，0），最小值為；

（3）如圖③，設M（0，a），

∵∠AOF＝∠GCF＝90°，∠AFO＝∠GFC，

∴△AOF∽△GCF，

∴，即，

解得GC＝，

則G（10，﹣），

∵F（6，0），

∴MF2＝62+a2＝a2+36，GM2＝102+（a+）2，FG2＝（10﹣6）2+（﹣﹣0）2＝16+（）2，

①若MF2+GM2＝FG2，即a2+36+102+（a+）2＝16+（）2，

整理，得：3a2+16a+180＝0，

此方程無解；

②若FG2+GM2＝MF2，即16+（）2+102+（a+）2＝a2+36，

解得a＝﹣，則M（0，﹣）；

③若FG2+MF2＝GM2，即16+（）2+a2+36＝102+（a+）2，

解得a＝﹣4.5，則M（0，﹣4.5）；

綜上，點M的坐標為（0，﹣）或（0，﹣4.5）．