Question

【題目】如圖，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°，連接AE、CD交于點F，連接BF．求證：

（1）AE＝CD；

（2）BF平分∠AFD．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質可得AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE，由“SAS”可證△ABE≌△CBD，可得AE＝CD；

（2）由全等三角形的性質可得S△ABE＝S△CBD，可求BM＝BN，由角平分線的性質可證BF平分∠AFD．

證明：（1）∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形

∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE

∴∠ABE＝∠CBD，且AB＝BC，BE＝BD，

∴△ABE≌△CBD（SAS）

∴AE＝CD；

（2）如圖，過點B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N，

∵△ABE≌△CBD

∴S△ABE＝S△CBD，

∴AE×BM＝CD×BN

∴BM＝BN，且BM⊥AE，BN⊥CD

∴BF平分∠AFD.