Question

【題目】如圖，OB為∠AOC內一條射線，∠AOB的余角是它自身的兩倍．

（1）求∠AOB的度數；

（2）射線OE從OA開始，在∠AOB內以1°/s的速度繞著O點逆時針方向旋轉，轉到OB停止，同時射線OF在∠BOC內從OB開始以3°/s的速度繞O點逆時針方向旋轉轉到OC停止，設運動時間為t秒．

①若OE，OF運動的任一時刻，均有∠COF＝3∠BOE，求∠AOC的度數；

②OP為∠AOC內任一射線，在①的條件下，當t＝10時，以OP為邊所有角的度數和的最小值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）①120°，②170°.

【解析】

（1）根據余角的定義列方程解答即可；

（2）①分別用t的代數式表示出∠AOE、∠BOF，∠BOE，根據∠COF＝3∠BOE列方程解答即可；

②當OP與OB重合時，以OP為邊所有角的度數和的有最小值，把t＝10代入計算即可．

解：（1）設∠AOB＝x，則∠AOB的余角＝（90﹣x），

依題意有：∴90﹣x＝2x，

∴x＝30，

∴∠AOB＝30°；

（2）①∵運動時間為t秒，則

∠AOE＝t°，∠BOF＝3t°，∠BOE＝（30﹣t）°，

∠COF＝∠AOC﹣∠AOB﹣∠BOF，

設∠AOC＝y°，

又∵∠COF＝3∠BOE，

則有：y﹣30﹣3t＝3（30﹣t），

解得：y＝120，

∴∠AOC＝120°，

②當OP與OB重合時，以OP為邊所有角的度數和的有最小值，

當t＝10時，以OP為邊所有角的度數和的最小值為170°．

故答案為：170°