Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，點F是AB的中點，AD與FE，BE分別交于點G、H．有下列結論：①FD=FE；②AH=2CD；③BCAD=AE2；④S△ABC=2S△ADF．其中正確結論的序號是_____．（把你認為正確結論的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】分析：仔細審題，首先根據直角三角形斜邊上的中線性質得出FD=AB，再證明△ABE是等腰直角三角形，進而可得FE=AB，據此不難判斷①是否正確；

根據已有信息易得∠ABC=∠C，進而可得出AB=AC，由等腰三角形的性質得出BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA證明△AEH≌△BEC，再結合全等三角形的性質判斷②是否正確；

對于③，可通過證明△ABD～△BCE，得出BC：AB=BE：AD，即BC·AD=AB·BE，再由等腰直角三角形的性質和三角形的面積得出結論；

對于④，由F是AB的中點，BD=CD進行判斷即可.

詳解：∵在△ABC中，AD和BE是高，

∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，

∵點F是AB的中點，

∴FD=AB，

∵∠ABE=45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AE=BE，

∵點F是AB的中點，

∴FE=AB，

∴FD=FE，①正確；

∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，

∴∠ABC=∠C，

∴AB=AC，

∵AD⊥BC，

∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，

在△AEH和△BEC中，

∵∠AEH=∠CEB,

AE=BE,

∠EAH=∠CBE，

∴△AEH≌△BEC（ASA），

∴AH=BC=2CD，②正確；

∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，

∴△ABD～△BCE，

∴，即BC·AD=AB·BE，

∵AE2=AB·AE=AB·BE，BC·AD=AC·BE=AB·BE，

∴BC·AD=AE2；③正確；

∵F是AB的中點，BD=CD，∴

S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④錯誤；

故答案為：①②③．