Question

如圖，在平面直角坐標系中，點C的坐標為（0，4），A是x軸正半軸上的一個動點，M是線段AC的中點．把線段AM進行以A為旋轉中心、向順時針方向旋轉90°的旋轉變換得到AB．過B作x軸的垂線、過C作y軸的垂線，兩直線交于D，直線DB交x軸于一點E．
（1）求證：△AOC∽△BEA；
（2）如果點A的橫坐標為t，△BCD的面積為S，當t為何值時，S=6.25？
（3）如果以B、C、D為頂點的三角形與△AOC相似，求此時點A的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得：∠CAB=90°，∠COA=∠BEA=90°，又由同角的余角相等，即可求得∠BAE=∠OCA，然后根據有兩角對應相等的三角形相似，即可判定△AOC∽△BEA；
（2）由△AOC∽△BEA，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得AE與BE的長，繼而求得S與t的關系，又由S=6.25，即可求得t的值；
（3）由∠BDC=∠AOC=90°，可分別從當，即 時，△BDC∽△AOC與當 ，即 時，△BDC∽△COA去分析求解即可求得答案．
解答：（1）證明：∵由題意得：∠CAB=90°，
∴∠OAC+∠BAE=90°，
又∵OC⊥OA，
∴∠OCA+∠OAC=90°，
∴∠BAE=∠OCA，
又∵∠COA=∠BEA=90°，
∴△OCA∽△EAB；

（2）∵△OCA∽△EAB，
∴，
∴，
∴AE=2，BE=t，
∴CD=OE=OA+AE=t+2，DE=OC-BE=4-t，
∴S=CD•BD=（t+2）（4-t）=-t²+t+4，
∴S=-t²+t+4=6.25，
二次項系數化1，得：t²-6t+9=0，
解得：t₁=t₂=3，
∴當t=3時，S=6.25；

（3）∵∠BDC=∠AOC=90°，
∴當，即 時，△BDC∽△AOC，
解得：t₁=2-2，t₂=-2-2（舍去）；
當 ，即 時，△BDC∽△COA，
整理，得：t²=-16（無實根）；
故A點的坐標為（2-2，0）．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、旋轉的性質以及直角三角形的性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用．