Question

【題目】如圖，AB是以BC為直徑的半圓O的切線，D為半圓上一點，AD=AB，AD、BC的延長線相交于點E．
（1）求證：AD是半圓O的切線；
（2）連結CD，求證：∠A=2∠CDE．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結OD，BD，

∵AB是⊙O的切線，

∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵OB=OD，

∴∠DBO=∠BDO，

∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，

∴∠ADO=∠ABO=90°，

∴AD是半圓O的切線．

（2）解：由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，

∴∠A=360°﹣∠ADO﹣∠ABO﹣∠BOD=180°﹣∠BOD=∠DOC，

∵AD是半圓O的切線，

∴∠ODE=90°，

∴∠ODC+∠CDE=90°，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠ODC+∠BDO=90°，

∴∠BDO=∠CDE，

∵∠BDO=∠OBD，

∴∠DOC=2∠BDO，

∴∠DOC=2∠CDE，

∴∠A=2∠CDE．

【解析】（1）連接OD，BD，根據圓周角定理得到∠ABO=90°，根據等腰三角形的性質得到∠ABD=∠ADB，∠DBO=∠BDO，根據等式的性質得到∠ADO=∠ABO=90°，根據切線的判定定理即可得到即可；（2）由AD是半圓O的切線得到∠ODE=90°，于是得到∠ODC+∠CDE=90°，根據圓周角定理得到∠ODC+∠BDO=90°，等量代換得到∠DOC=2∠BDO，∠DOC=2∠CDE即可得到結論．