Question

【題目】已知關于x的方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0．
（1）求證：此方程有兩個不相等的實數根；
（2）若拋物線y=x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0與x軸有兩個交點都在x軸正半軸上，求m的取值范圍；
（3）填空：若x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0的兩根都大于1，則m的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△=[﹣（m+2）]2﹣4（2m﹣1）=m2+4m+4﹣8m+4=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4，

∵（m﹣2）2≥0，

∴（m﹣2）2+4＞0，

∴無論m取何實數時，此方程都有兩個不相等的實數根

（2）解：設拋物線y=x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0與x軸兩個交點的橫坐標是x1，x2，

則x1+x2=m+2，x1x2=2m﹣1．

根據題意，得 ，

解得m＞ ．

即m的取值范圍是m＞

（3）m＞2
【解析】（3）解：設x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0的兩根是x1 ， x2 ， 則x1+x2=m+2，x1x2=2m﹣1．
根據題意，得 ，
解得m＞2．
所以答案是m＞2．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質和拋物線與坐標軸的交點的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能正確解答此題．