Question

【題目】（1）探究證明：

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E，當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：DE=AD+BE；

（2）發現探究：

當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論是否成立，如果不成立，DE、AD、BE應滿足的關系是_____．

（3）解決問題：

當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，若BE=8，AD=2，請直接寫出DE的長為_____．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DE+BE=AD；（3）6．

【解析】試題分析：（1）由垂直得∠ADC=∠BEC=90°，由同角的余角相等得：∠DAC=∠BCE，因此根據AAS可以證明）△ADC≌△CEB，結合全等三角形的對應邊相等證得結論；

（2）根據全等三角形的判定定理AAS推知△ACD≌△CBE，然后由全等三角形的對應邊相等、圖形中線段間的和差關系以及等量代換證得DE+BE=AD；

（3）先同（2）的方法得出DE=BE-AD，代值即可得出結論．

試題解析：證明：（1）如圖1．∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°．∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠BCE．在△ADC和△CEB中，∵∠ADC=∠BEC，∠DAC=∠BCE，AC=BC，∴△ADC≌△CEB；

∴DC=BE，AD=EC．∵DE=DC+EC，∴DE=BE+AD．

（2）解：（1）中結論不成立，結論為：DE+BE=AD．理由如下：

如圖2．∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°．

又∵AD⊥MN于點D，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BCE．

在△ADC和△CEB中，∵∠ADC=∠BEC，∠DAC=∠BCE，AC=BC，∴△ADC≌△CEB；

∴CD=BE，AD=CE，∴DE+BE=DE+CD=EC=AD，即DE+BE=AD．

故答案為：DE+BE=AD；

（3）解：如圖3，同（2）的方法得，△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．∵BE=8，AD=2，∴DE=8﹣2=6．故答案為：6．