Question

【題目】閱讀下列材料： 如圖1，圓的概念：在平面內，線段PA繞它固定的一個端點P旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．就是說，到某個定點等于定長的所有點在同一個圓上，圓心在P（a，b），半徑為r的圓的方程可以寫為：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2 ， 如：圓心在P（2，﹣1），半徑為5的圓方程為：（x﹣2）2+（y+1）2=25

（1）填空： ①以A（3，0）為圓心，1為半徑的圓的方程為；
②以B（﹣1，﹣2）為圓心， 為半徑的圓的方程為 ．
（2）根據以上材料解決下列問題： 如圖2，以B（﹣6，0）為圓心的圓與y軸相切于原點，C是⊙B上一點，連接OC，作BD⊥OC垂足為D，延長BD交y軸于點E，已知sin∠AOC= ．

①連接EC，證明EC是⊙B的切線；
②在BE上是否存在一點P，使PB=PC=PE=PO？若存在，求P點坐標，并寫出以P為圓心，以PB為半徑的⊙P的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（x﹣3）2+y2=1；（x+1）2+（y+2）2=3
（2）解：①證明：∵BD⊥OC，

∴CD=OD，

∴BE垂直平分OC，

∴EO=EC，

∴∠EOC=∠ECO，

∵BO=BC，

∴∠BOC=∠BCO，

∴∠EOC+∠BOC=∠ECO+∠BCO，

∴∠BOE=∠BCE=90°，

∴BC⊥CE，

∴EC是⊙B的切線；

②存在．

∵∠BOE=∠BCE=90°，

∴點C和點O偶在以BE為直徑的圓上，

∴當P點為BE的中點時，滿足PB=PC=PE=PO，

∵B點坐標為（﹣6，0），

∴OB=6，

∵∠AOC+∠DOE=90°，∠DOE+∠BEO=90°，

∴∠BEO=∠AOC，

∴sin∠BEO=sin∠AOC= ，

在Rt△BOE中，sin∠BEO= ，

∴ = ，

∴BE=10，

∴OE= =8，

∴E點坐標為（0，8），

∴線段AB的中點P的坐標為（﹣3，4），PB=5，

∴以P（﹣3，4）為圓心，以5為半徑的⊙P的方程為（x+3）2+（y﹣4）2=25．

【解析】（1）解：①以A（3，0）為圓心，1為半徑的圓的方程為（x﹣3）2+y2=1； ②以B（﹣1，﹣2）為圓心， 為半徑的圓的方程為（x+1）2+（y+2）2=3；
故答案為（x﹣3）2+y2=1；（x+1）2+（y+2）2=3；
（1）根據閱讀材料中的定義求解；（2）①根據垂徑定理由BD⊥OC得到CD=OD，則BE垂直平分OC，再根據線段垂直平分線的性質得EO=EC，則∠EOC=∠ECO，加上∠BOC=∠BCO，易得∠BOE=∠BCE=90°，然后根據切線的判定定理得到EC是⊙B的切線；②由∠BOE=∠BCE=90°，根據圓周角定理得點C和點O偶在以BE為直徑的圓上，即當P點為BE的中點時，滿足PB=PC=PE=PO，利用同角的余角相等得∠BOE=∠AOC，則sin∠BOE=sin∠AOC= ，在Rt△BOE中，利用正弦的定義計算出BE=10，利用勾股定理計算出OE=8，則E點坐標為（0，8），于是得到線段AB的中點P的坐標為（﹣3，4），PB=5，然后寫出以P（﹣3，4）為圓心，以5為半徑的⊙P的方程．