Question

【題目】如圖，在ABCD中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，DE與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．

（1）求證：△ADE≌△BFE；

（2）若DF平分∠ADC，連接CE．試判斷CE和DF的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）由全等三角形的判定定理AAS證得結(jié)論。

（2）由（1）中全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等推知點(diǎn)E是邊DF的中點(diǎn)，∠1=∠2；根據(jù)角平分線的性質(zhì)、等量代換以及等角對(duì)等邊證得DC=FC，則由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)推知CE⊥DF。

【解析】

（1）由全等三角形的判定定理AAS證得結(jié)論。

（2）由（1）中全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等推知點(diǎn)E是邊DF的中點(diǎn)，∠1=∠2；根據(jù)角平分線的性質(zhì)、等量代換以及等角對(duì)等邊證得DC=FC，則由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)推知CE⊥DF。

解：（1）證明：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC。

又∵點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上，∴AD∥CF。∴∠1=∠2。

∵點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，∴AE=BE，

∵在△ADE與△BFE中，，

∴△ADE≌△BFE（AAS）。

（2）CE⊥DF。理由如下：

如圖，連接CE，

由（1）知，△ADE≌△BFE，

∴DE=FE，即點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，∠1=∠2。

∵DF平分∠ADC，∴∠1=∠3。∴∠3=∠2。

∴CD=CF。∴CE⊥DF。