Question

【題目】(1)如圖1，AB∥CD，∠PAB=120°，∠PCD=110°，求∠APC的度數．小穎同學的解題思路是：如圖2，過點P作PE∥AB，請你接著完成解答；如圖3，點A、B在射線OM上，點C、D在射線ON上，AD∥BC，點P在射線OM上運動（點P與A、B、O三點不重合）．

(2)當點P在線段AB上運動時，判斷∠CPD與∠ADP、∠BCP之間的數量關系，并說明理由；

(3)當點P在線段AB外運動時，判斷∠CPD與∠ADP、∠BCP之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠APC=130°；（2）∠CPD=∠ADP+∠BCP；（3）∠CPD=∠ADP-∠BCP；∠CPD=∠BCP-∠ADP.

【解析】

（1）過P作PE∥AB，構造同旁內角，利用平行線性質，可得∠APC=130°；
（2）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據平行線的性質得出∠ADP =∠DPE，∠BCP =∠CPE，即可得出答案；
（3）畫出圖形（分兩種情況：①點P在BA的延長線上，②點P在AB的延長線上），根據平行線的性質得出∠ADP =∠DPE，∠BCP=∠CPE，即可得出答案．

解：（1）過P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=180°-∠PAB =60°，∠CPE=180°-∠PCD =70°，
∴∠APC=60°+70°=130°；
（2）∠CPD=∠ADP+∠BCP，理由如下：
如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠ADP =∠DPE，∠BCP =∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠ADP+∠BCP；

（3）當P在BA延長線時，∠CPD=∠BCP-∠ADP；
理由：如圖4，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠ADP =∠DPE，∠BCP =∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠BCP-∠ADP；

當P在BO之間時，∠CPD=∠ADP-∠BCP．
理由：如圖5，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠ADP =∠DPE，∠BCP =∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠ADP-∠BCP．

故答案為：（1）∠APC=130°；（2）∠CPD=∠ADP+∠BCP；（3）當P在BA延長線時，∠CPD=∠BCP-∠ADP；當P在BO之間時，∠CPD=∠ADP-∠BCP．