Question

【題目】如圖，點A（1，4）、B（2，a）在函數y=（x＞0）的圖象上，直線AB與x軸相交于點C，AD⊥x軸于點D．

（1）m=　　；

（2）求點C的坐標；

（3）在x軸上是否存在點E，使以A、B、E為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求出點E的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）C的坐標為（3，0）；（3）（﹣2，0）．

【解析】試題分析：（1）把點代入求值.(2)先利用反比例函數求出A，B，點坐標，再利用待定系數法求直線方程.(3)假設存在E點，因為ACD是直角三角形，假設ABE也是直角三角形，利用勾股定理分別計算A,B，C,是直角時AB長度，均與已知矛盾，所以不存在.

試題解析：

解：（1）∵點A（1，4）在反比例函數y=（x＞0）的圖象上，

∴m=1×4=4，

故答案為：4．

（2）∵點B（2，a）在反比例函數y=的圖象上，

∴a==2，

∴B（2，2）．

設過點A、B的直線的解析式為y=kx+b，

∴，解得：，

∴過點A、B的直線的解析式為y=﹣2x+6．

當y=0時，有﹣2x+6=0，

解得：x=3，

∴點C的坐標為（3，0）．

（3）假設存在，設點E的坐標為（n，0）．

①當∠ABE=90°時（如圖1所示），

∵A（1，4），B（2，2），C（3，0），

∴B是AC的中點，

∴EB垂直平分AC，EA=EC=n+3．

由勾股定理得：AD2+DE2=AE2，即42+（x+1）2=（x+3）2，

解得：x=﹣2，

此時點E的坐標為（﹣2，0）；

②當∠BAE=90°時，∠ABE＞∠ACD，

故△EBA與△ACD不可能相似；

③當∠AEB=90°時，∵A（1，4），B（2，2），

∴AB=，2＞，

∴以AB為直徑作圓與x軸無交點（如圖3），

∴不存在∠AEB=90°．

綜上可知：在x軸上存在點E，使以A、B、E為頂點的三角形與△ACD相似，點E的坐標為（﹣2，0）．