Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，把拋物線y=x²先向右平移1個單位，再向下平移4個單位，得到拋物線y=（x-h）²+k，所得拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，頂點為M；
（1）寫出h、k的值以及點A、B的坐標；
（2）判斷三角形BCM的形狀，并計算其面積；
（3）點P是拋物線上一動點，連接AP，以AP為一邊作正方形APFG，隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當頂點F或G恰好落在y軸上時，請寫出對應的點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的平移規律即可求得h和k的值；然后令y=0即可求得與x軸的交點坐標；
（2）首先求得點C和點M的坐標，然后求得BC、CM及BM的長，最后利用勾股定理逆定理判定直角三角形即可；
（3）分別根據當點G在y軸上時和點F在y軸上時兩種情況利用△AOG≌△PHA和△AMP≌△FNP求得點P的坐標即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²先向右平移1個單位，再向下平移4個單位，得到拋物線y=（x-1）²-4，
∴h=1，k=-4；
令y=0，即（x-1）²-4=0
解得x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B （3，0），

（2）∵令x=0，得y=（0-1）²-4=-3，
∴點C的坐標為（0，-3），點M的坐標為（1，-4）
∴BC=3

2

，MC=

2

，BM=2

5

∴BC²+MC²=BM²
∴△BMC是直角三角形； 
∴S=

1

2

BC•CM=

1

2

×3

2

×

2

=3；
（3）①如圖（1），（2）當點G在y軸上時，
由△AOG≌△PHA，
得PH=OA，得y_P=x_A=-1，∴x²-2x-3=-1，
得x=1±

2

，∴P₁（1-

2

，-1），P₂（1+

2

，-1）
②如圖（3），當點F在y軸上時，由△AMP≌△FNP，
得PM=PN，得y_P=x_P，
則x²-2x-3=x，
得x=

3± 21

2

，（x=

3- 21

2

舍去），
故P₃（

3+ 21

2

，

3+ 21

2

）．

點評：本題考查了二次函數的綜合知識，特別是動點問題是本題中的難點，同時它也是中考的高頻考點．