Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，2AB＞BC，點E和點F為邊AD上兩點，將矩形沿著BE和CF折疊，點A和點D恰好重合于矩形內部的點G處，

（1）當AB=BC時，求∠GEF的度數；

（2）若AB=，BC=2，求EF的長.

Answer 1

【答案】(1) 30°;(2)2-2.

【解析】

（1）當AB=BC時，矩形ABCD為正方形，由折疊與正方形的性質，易證△BCG為等邊三角形，進而得到∠ABG=30°，根據四邊形的內角和可得∠AEG=150°，即可求得∠GEF的值；

（2）由勾股定理的逆定理可得△BCG為等腰直角三角形，則△EGF也是等腰直角三角形，設EG=x，則AE=FD=x，EF=x，得到關于x方程，然后求解方程即可.

（1）當AB=BC時，矩形ABCD為正方形，

由折疊得，AB=BG，CD=CG；∠EGB=∠A=90°，

∵AB=BC=CD，

∴BG=BC=GC，

∴∠BGC=60°，

∴∠ABG=30°，

∴∠AEG=150°，

∴∠GEF=30°；

（2）在矩形ABCD中，AB=CD=，

由折疊得，AB=BG，CD=CG，AE=EG，DF=FG，

∴BG=GC=，

又∵BC=2，

得△BGC為等腰直角三角形，且∠GBC=45°，

與（1）同理可得∠FEG=45°，∠EFG=45°，△EGF為等腰直角三角形 ，

設EG=x，則AE=FD=x，EF=，得，

（2+）x=2 ，得x=，

∴EF= .