Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，AE是過A點的一條直線，且B,C在AE的異側，BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.

(1)△ABD與△CAE全等嗎？BD與DE+CE相等嗎？請說明理由。

(2)如圖2，若直線AE繞點A旋轉到圖②所示的位置（BD<CE）時，其余條件不變，則BD與DE、CE的關系如何？請說明理由

(3)如圖3，若直線AE繞點A旋轉到圖③所示的位置（BD>CE）時，其余條件不變，則BD與DE、CE的關系如何？

(4)根據以上的討論，請用簡潔的語言表達BD與DE、CE的數量關系.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)BD=DE-CE，理由見解析； (3)BD=DE-CE；理由見解析；(4) 當點B、C在AE異側時，BD=DE+CE；當點B、C在AE同側時，BD=DE-CE．

【解析】

（1）在直角三角形中，由題中條件可得∠ABD=EAC，又有AB=AC，則有一個角及斜邊相等，則可判定Rt△BAD≌Rt△AEC，由三角形全等可得三角形對應邊相等，進而通過線段之間的轉化，可得出結論；

（2）由題中條件同樣可得出Rt△BAD≌Rt△AEC，得出對應線段相等，進而可得線段之間的關系；

（3）同（2）的方法即可得出結論．

（4）利用（1）（2）（3）即可得出結論．

（1）證明：在△ABD和△CAE中，

∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3．

又∠4=∠5=90°，AB=AC，

∴△ABD≌△CAE.（AAS），

∴BD=AE，AD=CE．

又AE=AD+DE，

∴AE=DE+CE，

即BD=DE+CE．

（2）BD=DE-CE．

證明：∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°．

又∵BD⊥DE，∴∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠CAE．

又AB=AC，∠ADB=∠CEA=90°，

∴△ADB≌△CEA．

∴BD=AE，AD=CE．

∵DE=AD+AE，

∴DE=CE+BD，

即BD=DE-CE．

（3）同（2）的方法可證：BD=DE-CE．

（4）當點B、C在AE異側時，BD=DE+CE；當點B、C在AE同側時，BD=DE-CE．