Question

（本題12分）如圖，在平面直角坐標中，點O為坐標原點，直線y=﹣x+4與x軸交于點A，過點A的拋物線y=ax2+bx與直線y=﹣x+4交于另一點B，且點B的橫坐標為1．

（1）求a，b的值；（3分）

（2）點P是線段AB上一動點（點P不與點A、B重合），過點P作PM∥OB交第一象限內的拋物線于點M，過點M作MC⊥x軸于點C，交AB于點N，過點P作PF⊥MC于點F，設PF的長為t，MN的長為d，求d與t之間的函數關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（4分）

（3）如圖（3），將直線AB繞點A順時針旋轉15度交拋物線對稱軸于點C, 點P為線段OA上的一個動點（與點O、點A不重合），以點O為圓心、以OP為半徑的圓弧與線段OC交于點M，以點A為圓心、以AP為半徑的圓弧與線段AC交于點N，連接MN．在點P運動的過程中，四邊形OMNA的面積有最大值還是有最小值？請求出該值．（5分）

Answer 1

（1）a=﹣1，b=4；（2）d=4t；（3）四邊形OMNB的面積有最小值，最小值為3．

【解析】

試題分析：（1）利用已知得出A，B點坐標，進而利用待定系數法得a，b的值；

（2）已知MN=d，PF=t，由圖可知MN=MF+FN，不妨將MF和FN用PF代替，即可得到MN與PF的關系，利用45°的直角三角形和平行線性質可推得FN=PF=t，∠MPF=∠BOD，再利用tan∠BOD=tan∠MPF，得==3，從而有MF=3PF=3t，從而得出d與t的函數關系；

（3）設OP=m，四邊形OMNB的面積為S，先連接ON、AM，再證△OAN≌△ACM（SAS），可知CM＝AN＝AP，AB=BC=4，過M作MF⊥AC,垂足為F,則MF=MCsin60=，分別表示△OAC和△MNC的面積，然后求面積的差得到四邊形OMNB的面積為S，根據關系式求最值．

試題解析：【解析】
（1）∵y=﹣x+4與x軸交于點A，∴A（4，0），

∵點B的橫坐標為1，且直線y=﹣x+4經過點B，∴B（1，3），

∵拋物線y=ax2+bx經過A（4，0），B（1，3），

∴，解得：，∴a=﹣1，b=4；

（2）如圖，作BD⊥x軸于點D，延長MP交x軸于點E，

∵B（1，3），A（4，0），∴OD=1，BD=3，OA=4，

∴AD=3，∴AD=BD，

∵∠BDA=90°，∠BAD=∠ABD=45°，

∵MC⊥x軸，∴∠ANC=∠BAD=45°，

∴∠PNF=∠ANC=45°，∵PF⊥MC，∴∠FPN=∠PNF=45°，

∴NF=PF=t，

∵∠DFM=∠ECM=90°，∴PF∥EC，

∴∠MPF=∠MEC，∵ME∥OB，∴∠MEC=∠BOD，

∴∠MPF=∠BOD，∴tan∠BOD=tan∠MPF，∴==3，

∴MF=3PF=3t，∵MN=MF+FN，∴d=3t+t=4t；

（3）四邊形OMNB的面積有最小值．

設OP=m，四邊形OMNB的面積為S，先連接ON、AM，

再證△OAN≌△ACM（SAS），可知CM＝AN＝AP，

AB=BC=4， S△ABC=×42=，∴CM=AN= AP=4－m，CN=OP=m，

過M作MF⊥AC,垂足為F,

則MF=MCsin60=，

∴S△CMN===，

∴S=S△OAC－S△CMN

=－（）

=，

∴在點P運動的過程中，四邊形OMNA的面積有最小值為3．

考點：二次函數綜合題；相似三角形的判定和性質；勾股定理．

考點分析： 考點1：二次函數 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數，a≠0），那么y叫做x 的二次函數。
①所謂二次函數就是說自變量最高次數是2;
②二次函數（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數，自變量x 的取值范圍是全體實數，b和c可以是任意實數，a是不等于0的實數，因為a=0時，變為y=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數，若b=0，則y=c是一個常數函數。
③二次函數（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯系，如果將變量y換成一個常數，那么這個二次函數就是一個一元二次函數。 二次函數的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數，a≠0）；
（2）頂點式： （a，h，k是常數，a≠0）
（3）當拋物線與x軸有交點時，即對應二次好方程有實根x₁和x₂存在時，根據二次三項式的分解因式，二次函數可轉化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。

二次函數的一般形式的結構特征：
①函數的關系式是整式；
②自變量的最高次數是2；
③二次項系數不等于零。 二次函數的判定：
二次函數的一般形式中等號右邊是關于自變量x的二次三項式；
當b=0，c=0時，y=ax²是特殊的二次函數；
判斷一個函數是不是二次函數，在關系式是整式的前提下，如果把關系式化簡整理（去括號、合并同類項）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個函數就是二次函數，否則就不是。 試題屬性

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