Question

【題目】已知：如圖，△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，過點D作DE⊥AC于點E，交BC的延長線于點F．

求證：

（1）AD=BD；

（2）DF是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）證法一：連結CD，

∵BC為⊙O的直徑

∴CD⊥AB

　　　 ∵AC＝BC

　　　 ∴AD＝BD．

證法二：連結CD，

　∵BC為⊙O的直徑

∴∠ADC＝∠BDC＝90°

∵AC＝BC，CD＝CD

∴△ACD≌△BCD

∴AD＝BD

（2）證法一：連結OD，

　∵AD＝BD，OB＝OC

　　∴OD∥AC

　　∵DE⊥AC

∴DF⊥OD

　　∴DF是⊙O的切線．

證法二：連結OD，

　　　　∵OB=OD

　　　　∴∠BDO＝∠B

　　　　∵∠B＝∠A

　　　　∴∠BDO=∠A

　　　　∵∠A+∠ADE＝90°

　　　　∴∠BDO＋∠ADE＝90°

　　　　∴∠ODF=90°

　　　　∴DF是⊙O的切線．

【解析】試題分析：（1）由于AC=AB，如果連接CD，那么只要證明出CD⊥AB，根據等腰三角形三線合一的特點，我們就可以得出AD=BD，由于BC是圓的直徑，那么CD⊥AB，由此可證得．

（2）連接OD，再證明OD⊥DE即可．

試題解析：（1）連接CD，

∵BC為⊙O的直徑，

∴CD⊥AB．

∵AC=BC，

∴AD=BD．

（2）連接OD；

∵AD=BD，OB=OC，

∴OD是△BCA的中位線，

∴OD∥AC．

∵DE⊥AC，

∴DF⊥OD．

∵OD為半徑，

∴DF是⊙O的切線．