Question

【題目】（10分）如圖，P為正方形ABCD的邊BC上一動點（P與B、C不重合），連接AP，過點B作BQ⊥AP交CD于點Q，將△BQC沿BQ所在的直線對折得到△BQC′，延長QC′交BA的延長線于點M．

（1）試探究AP與BQ的數量關系，并證明你的結論；

（2）當AB=3，BP=2PC，求QM的長；

（3）當BP=m，PC=n時，求AM的長．

Answer 1

【答案】（1）AP=BQ，理由參見解析；（2）；（3）．

【解析】

試題（1）利用BQ⊥AP和四邊形ABCD是正方形的條件證明△PBA≌△QCB即可；（2）過點Q作QH⊥AB于H，可得QH=BC=AB=3，∵BP=2PC，∴BP=2，PC=1，運用勾股定理可求得AP（即BQ）=，BH=2．由DC∥AB，得∠CQB=∠QBA．由折疊角相等可得∠C′QB=∠CQB，等量代換：∠QBA=∠C′QB，根據等角對等邊得：MQ=MB．設QM=x，則有MB=x，MH=x﹣2．在Rt△MHQ中運用勾股定理求得QM；（3）過點Q作QH⊥AB于H，用（2）的思路方法求出QM的長，也就知道BM的長了，再減去AB的長就是AM的長．

試題解析：（1）證明線段相等，通常證明所在的三角形全等，此題利用BQ⊥AP和四邊形ABCD是正方形的條件證明△PBA≌△QCB，證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，∴∠ABQ+∠CBQ=90°．∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA=90°，∴∠PAB=∠CBQ（同角的余角相等）．∴△PBA≌△QCB（ASA），∴AP=BQ（全等三角形的對應邊相等）；（2）過點Q作QH⊥AB于H，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴QH=BC=AB=3．∵BP=2PC，BP+PC=3，∴BP=2，PC=1，∵△PBA≌△QCB，∴CQ=BP=2，四邊形QHCB是矩形，∴BH=CQ=2，∵四邊形ABCD是正方形，∴DC∥AB，∴∠CQB=∠QBA．由折疊角相等可得∠C′QB=∠CQB，∴∠QBA=∠C′QB（等量代換），∴MQ=MB（等角對等邊）．設QM=x，則有MB=x，MH=x﹣2．在Rt△MHQ中，根據勾股定理可得x2=（x﹣2）2+32，解得x=．∴QM的長為；

過點Q作QH⊥AB于H，如上題的思路可得：四邊形ABCD是正方形，BP=m，PC=n，∴QH=BC=AB=m+n．∵△PBA≌△QCB，∴CQ=BP=m，四邊形QHCB是矩形，∴BH=CQ=m．設QM=x，則有MB=QM=x，MH=x﹣m．在Rt△MHQ中，根據勾股定理可得x2=（x﹣m）2+（m+n）2，解得x=m+n+，∴AM=MB﹣AB=m+n+﹣m﹣n=．即AM的長為．