Question

【題目】如圖，射線BD是∠MBN的平分線，點A、C分別是角的兩邊BM、BN上兩點，且AB=BC，E是線段BC上一點，線段EC的垂直平分線交射線BD于點F，連結AE交BD于點G，連結AF、EF、FC．

（1）求證：AF=EF；

（2）求證：△AGF∽△BAF；

（3）若點P是線段AG上一點，連結BP，若∠PBG=∠BAF，AB=3，AF=2，求．

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）見解析；

（3）=

【解析】

試題分析：（1）由于EF=CF，要證AF=EF，只需證FA=FC，只需證△ABF≌△CBF即可；

（2）由于∠AFG=∠BFA，要證△AGF∽△BAF，只需證∠FAE=∠ABF，易得∠FAE=∠FEA，∠ABF=∠CBF，只需證∠ABC+∠AFE=180°，只需證∠BAF+∠BEF=180°，只需證到∠BAF=∠FEC即可；

（3）由△AGF∽△BAF可得∠BAF=∠AGF，=，易證△BGE∽△AGF，則有=，由條件∠PBG=∠BAF可得∠PBG=∠AGF，由此可得∠BPG=∠PBG，即可得到BG=PG，問題得以解決．

試題解析： （1）∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF．

在△ABF和△CBF中，

BA=BC, ∠ABF=∠CBF,BF=BF，

∴△ABF≌△CBF，

∴AF=CF．

∵點F在EC的垂直平分線上，

∴EF=CF，

∴AF=EF；

（2）∵△ABF≌△CBF，

∴∠BAF=∠BCF．

∵FE=FC，

∴∠FEC=∠FCE，

∴∠BAF=∠FEC．

∵∠BEF+∠FEC=180°，

∴∠BAF+∠BEF=180°．

∵∠BAF+∠ABE+∠BEF+∠AFE=360°，

∴∠ABE+∠AFE=180°．

∵FA=FE，

∴∠FAE=∠FEA．

∵∠AFE+∠FAE+∠FEA=180°，

∴∠ABE=∠FAE+∠FEA=2∠FAE．

又∵∠ABE=2∠ABF，

∴∠FAE=∠ABF．

∵∠AFG=∠BFA，

∴△AGF∽△BAF；

（3）∵△AGF∽△BAF，

∴∠AGF=∠BAF，．

∵∠PBG=∠BAF，AB=3，AF=2，

∴∠PBG=∠AGF，=，

∴∠BPG=∠PBG，=，

∴PG=BG，

∴．

∵∠GAF=∠ABF=∠EBF，∠AGF=∠BGE，

∴△BGE∽△AGF，

∴=，

∴=．