Question

【題目】如圖，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交邊DC于E、F兩點，AD＝1，BC＝5，設⊙O的半徑長為r．

（1）聯結OF，當OF∥BC時，求⊙O的半徑長；

（2）過點O作OH⊥EF，垂足為點H，設OH＝y，試用r的代數式表示y；

（3）設點G為DC的中點，聯結OG、OD，△ODG是否能成為等腰三角形？如果能，試求出r的值；如不能，試說明理由．

Answer 1

【答案】(1)3；(2)y=；(3)△ODG能成為等腰三角形，r=2

【解析】

(1)證OF為梯形ABCD的中位線，得出r=OF=(AD+BC)=3即可；

(2)連接OD、OC，過點D作DM⊥BC于M，則CM=BC﹣BM=4，由勾股定理得出DC=2，由四邊形ABCD的面積=△DOC的面積+△AOD的面積+△BOC的面積，進而得出答案；

(3)證OG是梯形ABCD的中位線，得出OG∥AD，OG=3，DG=CD=，由勾股定理得OD=，分三種情況，分別求解即可．

解：(1)∵OF∥BC，OA=OB，

∴OF為梯形ABCD的中位線，

∴OF=(AD+BC)=(1+5)=3，

即⊙O的半徑長為3；

(2)連接OD、OC，過點D作DM⊥BC于M，如圖1所示：

∵AD∥BC，∠ABC=90°，且DM⊥BC，

∴四邊形ABMD為矩形，

則BM=AD=1，

∴CM=BC﹣BM=4，

∴DC=，

∵四邊形ABCD的面積=△DOC的面積+△AOD的面積+△BOC的面積，

∴(1+5)×2r=×2×y+r×1+r×5，

整理得：y=；

(3)△ODG能成為等腰三角形，理由如下：

∵點G為DC的中點，OA=OB，

∴OG是梯形ABCD的中位線，

∴OG∥AD，OG=(AD+BC)=(1+5)=3，

DG=CD=，

由勾股定理得：OD=，

分三種情況：

①DG=DO時，則，無解；

②OD=OG時，如圖2所示：

，

解得：；

③GD=GO時，作OH⊥CD于H，如圖3所示：

∠GOD=∠GDO，

∵OG∥AD，

∴∠ADO=∠GOD，

∴∠ADO=∠GDO，

∴DO是∠ADG的平分線，

由題意知：OA⊥AD，

又OH⊥CD，

∴OA=OH，

則此時圓O和CD相切，不合題意；

綜上所述，△ODG能成為等腰三角形，r=．