Question

【題目】人們在長期的數學實踐中總結了許多解決數學問題的方法，形成了許多光輝的數學想法，其中轉化思想是中學教學中最活躍，最實用，也是最重要的數學思想，例如將不規則圖形轉化為規則圖形就是研究圖形問題比較常用的一種方法．

問題提出：求邊長分別為、、、的三角形面積．

問題解決：

在解答這個問題時，先建立一個正方形網格（每個小正方形的邊長為1），再在網格中畫出邊長分別為

、、的格點三角形（如圖），是角邊為1和2的直角三角形斜邊，是直角邊分別為1和3的直角三角形的斜邊，是直角邊分別為2和3的直角三角形斜邊，用一個大長方形的面積減去三個直角三角形的面積，這樣不需求的高，而借用網格就能計算它的面積.

（1）請直接寫出圖①中的面積為____________.

（2）類比遷移：求邊長分別為、、的三角形面積（請利用圖②的正方形網格畫出相應的，并求出它的面積）

（3）思維拓展：求邊長分別為，的三角形的面積

（4）如圖（3），已知，以，為邊向外作正方形，正方形，連接，若，則六邊形 的面積是_________.

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）5ab；（4）31

【解析】

（1）直接利用△ABC所在矩形面積減去周圍三角形面積進而得出答案；
（2）利用勾股定理結合矩形面積減去周圍三角形面積進而得出答案；．

（3）結合（1）（2）易得此三角形的三邊分別是直角邊長為a，4b的直角三角形的斜邊；直角邊長為3a，2b的直角三角形的斜邊；直角邊長為2a，2b的直角三角形的斜邊．用所在矩形減去周圍三角形面積進而得出答案；

（4）將圖3的六邊形放入網格圖中，即可發現其在9×5矩形內，用矩形面積減去周邊四個直角三角形和一個梯形面積即可得到答案．

解：（1）S△ABC=3×3-×1×2-×1×3-×2×3＝；

故答案為

(2) 如圖2所示：△ABC即為所求

=

=

故答案為3

(3)如圖為邊長分別為的三角形，

=

=

(4)如圖所示，將六邊形放入網格中，可見其在的矩形內，用矩形面積減去周邊四個直角三角形和一個梯形的面積可得六邊形的面積

=

=