Question

【題目】在中，，，點是的中點，，垂足為，連接．

（1）如圖1，與的數量關系是__________.

（2）如圖2，若是線段上一動點（點不與點、重合），連接，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接，請猜想三者之間的數量關系，并證明你的結論；

Answer 1

【答案】（1）DE=BC；(2)

【解析】

（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根據直角三角形斜邊上中線性質得到DB=DC，則可判斷△DCB為等邊三角形，由于DE⊥BC，可得DE=BD=BC；

（2）根據旋轉的性質得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，則可根據“SAS”判斷△DCP≌△DBF，則CP=BF，利用CP+BP =BC，DE=BC可得到DE =（BF+BP）.

解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵點D是AB的中點，
∴DB=DC，
∴△DCB為等邊三角形，
∵DE⊥BC，
∴DE=BC；
故答案為DE=BD=BC．

（2）DE =（BF+BP）．理由如下：
∵線段DP繞點D逆時針旋轉60°，得到線段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
而∠CDB=60°，
∴∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中
，
∴△DCP≌△DBF（SAS），
∴CP=BF，
而CP=BC-BP，
∴BF+BP=BC，
∵DE=BC，
∴DE =（BF+BP）；

故答案為DE =（BF+BP）.