Question

【題目】如圖，在中，， ，點為邊上的動點（點不與點，重合）.以點為頂點作，射線交邊于點，過點作交射線于，連接.

（1）求證：；

（2）當時（如圖），求的長；

（3）點在邊上運動的過程中，是否存在某個位置，使得？若存在，求出此時的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）點在邊上運動的過程中，存在某個位置，使得，此時.

【解析】

（1）根據兩角對應相等的兩個三角形相似即可證明；

（2）解直角三角形得到BC，由，推出得到，由，得到，即可求出AE；

（3）點在邊上運動的過程中，存在某個位置，使得，過點作于點，過點作于點，于點，

則，由得到，推出，得到

，再利用等腰三角形的性質求出CD的長即可求解.

（1），

，

，

.

.

（2）過點作于點.

在中，設，則，

由勾股定理，得.

，

，

，

.

,

.

又，

.

，

.

.

.

，

.

.

（3）點在邊上運動的過程中，存在某個位置，使得.

過點作于點，過點作于點，于點，

則

四邊形為矩形，

，.

，

.

在中，由勾股定理，得.

，，

．

,

.

.

.

.

當時，由點不與點重合，可知為等腰三角形，

又，

，

，

所以，點在邊上運動的過程中，存在某個位置，使得，此時.