Question

【題目】如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，則下列關系式中成立的有（　　）

①，②，③，④CE2＝CDBC．

A.2個B.3個C.4個D.5個

Answer 1

【答案】A

【解析】

如圖，作輔助線；首先證明∠BEC＝90°；運用勾股定理證明CD＝CF，BA＝BF；根據兩角相等證明：△CDE∽△EAB和△ECF∽△BCE，列比例式進一步判斷即可．

如圖，過點E作EF⊥BC于點F；

∵CD∥AB，CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，

∴∠DCE＝∠FCE（設為α），∠ABE＝∠FBE（設為β），

且2α+2β＝180°，

∴α+β＝90°，∠BEC＝180°﹣90°＝90°；

∵∠A＝90°，DC∥AB，

∴∠D＝90°；而CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，

∴ED＝EF，EA＝EF；

∴ED＝EF＝EA，

由勾股定理得：CD＝CF，BA＝BF；

∵∠D＝∠A，∠DCE＝∠AEB，

∴△CDE∽△EAB，

∴，,

∵四邊形ABCD是梯形，

∴AD與BC不平行，

∴∠DEC≠∠ECF＝∠DCE，

∴DE≠CD，

∴①②不正確，③正確；

∵∠EFC＝∠CEB＝90°，∠ECF＝∠ECB，

∴△ECF∽△BCE，

∴,

∴CE2＝BCCF＝CDBC，

∴④正確，

故選：A．