Question

【題目】函數(shù)是描述客觀世界運動變化的重要模型，理解函數(shù)的本質(zhì)是重要的任務(wù)。

（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A、B的坐標(biāo)分別為A（6，0）、B（0，2），點C（x，y）在線段AB上，計算（x+y）的最大值。小明的想法是：這里有兩個變量x、y，若最大值存在，設(shè)最大值為m，則有函數(shù)關(guān)系式y=-x+m，由一次函數(shù)的圖像可知，當(dāng)該直線與y軸交點最高時，就是m的最大值，（x+y）的最大值為 ；

（2）請你用（1）中小明的想法解決下面問題：

如圖2，以（1）中的AB為斜邊在右上方作Rt△ABM.設(shè)點M坐標(biāo)為（x，y），求（x+y）的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）6（2）4+2

【解析】分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)以AB為斜邊在右上方作Rt△ABC，可知點C在以AB為直徑的⊙D上運動，根據(jù)點C坐標(biāo)為（x，y），可構(gòu)造新的函數(shù)x+y=m，則函數(shù)與y軸交點最高處即為x+y的最大值，此時，直線y=﹣x+m與⊙D相切，再根據(jù)圓心點D的坐標(biāo)，可得C的坐標(biāo)為（3+，1+），代入直線y=﹣x+m，可得m=4+2，即可得出x+y的最大值為4+2．

詳解：（1）6；

（2）由題可得，點C在以AB為直徑的⊙D上運動，點C坐標(biāo)為（x，y），可構(gòu)造新的函數(shù)x+y=m，則函數(shù)與y軸交點最高處即為x+y的最大值，此時，直線y=﹣x+m與⊙D相切，交x軸與E，如圖所示，連接OD，CD．

∵A（6，0）、B（0，2），∴D（3，1），∴OD==，∴CD=．

根據(jù)CD⊥EF可得，C、D之間水平方向的距離為，鉛垂方向的距離為，∴C（3+，1+），代入直線y=﹣x+m，可得：1+=﹣（3+）+m，解得：m=4+2，∴x+y的最大值為4+2．故答案為：4+2．