Question

【題目】已知等腰三角形ABC的三個頂點都在直徑為10的⊙O上，如果圓心O到BC的距離為3，那么三角形ABC的面積為_________.

Answer 1

【答案】8或32或30.72（）

【解析】

此題分情況考慮：①當BC是底邊，△ABC是銳角三角形時；②當BC是底邊，△ABC是鈍角三角形時；③當BC是腰時；分別根據勾股定理和垂徑定理求出等腰三角形的底邊長和底邊上的高，根據三角形的面積公式即可得到結論．

解：分情況討論：

①當BC是底邊，△ABC是銳角三角形時，連接AO并延長到BC于點D，如圖1，

∵AB＝AC，O為外心，

∴AD⊥BC，

在Rt△BOD中，OB＝5，OD＝3，

∴BD＝，

∴AD＝5＋3＝8，BC＝2BD＝8，

∴三角形ABC的面積＝×8×8＝32；

②當BC是底邊，△ABC是鈍角三角形時，連接AO交BC于點D，如圖2所示，

在Rt△BOD中，OB＝5，OD＝3，

∴BD＝，

∴AD＝53＝2，BC＝2BD＝8，

∴三角形ABC的面積＝×2×8＝8，

③當BC是腰時，連接BO并延長到AC于點E，作OD⊥BC于點D，如圖3所示，

在Rt△BOD中，OB＝5，OD＝3，

∴BD＝，

∴BC＝2BD＝8，

設OE=x，

在Rt△COE中，，

在Rt△BCE中，，

∴，

解得：，

∴，，

∴

∴三角形ABC的面積＝，

故答案為：8或32或．