Question

15．如圖，正方形ABCD的邊長為1，P、Q分別為邊BC、CD上的點，連接PQ，若△CPQ的周長是2，求∠PAQ的度數．

Answer 1

分析 如圖，延長CB使得BH=DQ，連接AH．只要證明△ADQ≌△ABH，推出∠DAQ=∠BAH，AQ=AH，由PC+CQ+PQ=2，CP+PB+CQ+QD=2，推出PQ=PB+DQ=PB+BH=PH，推出△APH≌△APQ，推出∠PAH=∠PAQ，由∠PAH=∠PAB+∠BAH=∠PAB+∠DAQ，推出∠PAQ=∠PAB+∠DAQ，由∠BAD=90°，推出∠PAQ=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°．

解答 解：如圖，延長CB使得BH=DQ，連接AH．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABH=90°，
在△ADC和△ABH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠D=∠ABH}\\{DQ=BH}\end{array}\right.$，
∴△ADQ≌△ABH，
∴∠DAQ=∠BAH，AQ=AH，
∵PC+CQ+PQ=2，CP+PB+CQ+QD=2，
∴PQ=PB+DQ=PB+BH=PH，
在△APH和△APQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP}\\{∠AQ=AH}\\{PH=PQ}\end{array}\right.$，
∴△APH≌△APQ，
∴∠PAH=∠PAQ，
∵∠PAH=∠PAB+∠BAH=∠PAB+∠DAQ，
∴∠PAQ=∠PAB+∠DAQ，∵∠BAD=90°，
∴∠PAQ=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°．

點評 本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．