Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上的一點，且CE＝8，BC＝12，CD＝4，∠C＝30°，∠B＝60°。點P是線段BC邊上一動點（包括B、C兩點），設PB的長是x。
（1）當x為何值時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形。
（2）當x為何值時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形。
（3）P在BC 上運動時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形能否為菱形。

Answer 1

作AF垂直于BC于點F, DG垂直于BC于點G
∴DG＝2，CG＝6
∴DG＝AF＝2
∵∠B＝60°
∴BF＝2。
∵BC＝12
∴FG＝AD＝4
顯然，當P點與F或點G重合時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形。
所以x=2或x=6
(2)∵AD=BE=4，且AD∥BE
∴當點P與B重合時，
即x=0時。點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形
又∵當點P在CE中點時，EP＝AD＝4，且EP∥AD，
∴x=8時，點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形
（3）由（1）（2）知，∵∠BAF＝30°
∴AB＝2BF＝4  所以當P與B重合時即x=0時或當x=8時點P、A、D、E為頂點的四邊形為菱形

（1）如圖，分別過A、D作BC的垂線，垂足分別為F、G，容易得到AF=DG，AD=FG，而CD=4，∠C=30°，由此可以求出CG=6，DG=AF=2，又∠B=60°，BF=2，若點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形，則∠APC=90°或∠DPC=90°，那么P與F重合或P與G重合，根據前面求出的長度即可求出此時的x的值；
（2）若以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，由于AD=BE=4，且AD∥BE，有兩種情況：①當點P與B重合時，利用已知條件可以求出BP的長度；②當點P在CE中點時，利用已知條件也可求出BP的長度；
（3）以點P、A、D、E為頂點的四邊形能構成菱形．由（1）（2）知，當BP=0或8時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，根據已知條件分別計算一組鄰邊證明它們相等即可證明它是菱形．