Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB⊙O的直徑，∠ACB的平分線交⊙O于D，連接AD和BD，過點D作DP∥AB交CA的延長線于P．

（1）求證：PD是⊙O的切線；

（2）當AC＝6，BC＝8時，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）7.

【解析】

（1）欲證明PD是⊙O的切線，只要證明OD⊥PD即可；

（2）如圖2中，連接AD、BD，作DE⊥CP與E，DF⊥BC于F．只要證明四邊形DECF是正方形且邊長為7，即可解決問題；

（1）證明：如圖1中，連接OD．

∵∠DCA=∠DCB，

∴OD⊥AB，

∵AB∥PD，

∴OD⊥PD，

∴PD是⊙O的切線．

（2）如圖2中，連接AD、BD，作DE⊥CP與E，DF⊥BC于F．

∵AB是直徑，

∴∠ECF=∠CED=∠CFD=90°，

∴四邊形DECF是矩形，

∵DC平分∠ACB，DE⊥CA，DF⊥CB，

∴DE=DF，

∴四邊形DECF是正方形，

∵∵∠DCA=∠DCB，

∴AD=BD，

∴ AE=BF，

∴ CE+CF=AC+AE+CB﹣BF=AC+BC=14，

∴ CE=CF=DE=DF=7，

∴CD=CE=7．