Question

【題目】在正方形ABCD中，AB=8，點P在邊CD上，tan∠PBC=，點Q是在射線BP上的一個動點，過點Q作AB的平行線交射線AD于點M，點R在射線AD上，使RQ始終與直線BP垂直．

（1）如圖1，當點R與點D重合時，求PQ的長；

（2）如圖2，試探索： 的比值是否隨點Q的運動而發生變化？若有變化，請說明你的理由；若沒有變化，請求出它的比值；

（3）如圖3，若點Q在線段BP上，設PQ=x，RM=y，求y關于x的函數關系式，并寫出它的定義域．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；0≤x≤.

【解析】試題分析：（1）由正方形的性質及可求出BC=8，PC=6，由勾股定理可求出BP=10，再由△∽△即可求出結論；

（2）由正方形的性質得∠A=∠ABC=∠C=90°，由MQ∥AB得∠QMR=∠A，故∠QMR=∠C；由MQ∥AB得，而∠1+∠RQM=90°,∠ABP+∠PBC=90°，故，從而△∽△.故可得出結論；

（3）延長交的延長線于點，通過證明，分別計算及, ，從而可得出結論.

試題解析：（1）由題意，得,

在Rt△中，

∴

∵

∴∴

∴

∵

∴

∴

∵

∴△∽△

∴

∴

∴

（2）答： 的比值隨點的運動沒有變化

理由：如圖，

∵∥

∴,

∵

∴

∵

∴

∴

∴△∽△

∴

∵，

∴

∴的比值隨點的運動沒有變化,比值為

（3）延長交的延長線于點

∵∥

∴

∵

∴

∴

∴

∵∥, ∥

∴∥

∴

∵,

∴

又,

∴

∴

它的定義域是