Question

（2012•金牛區二模）如圖，從⊙O外一點A作⊙O的切線AB、AC，切點分別為B、C，且⊙O的直經BD=6，連接CD、AO、BC，且AO與BC相交于點E．
（1）求證：CD∥AO；
（2）設CD=x，AO=y，求y與x之間的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）請閱讀下方資源鏈接內容．在（2）的基礎上，若CD、AO的長分別為一元二次方程x²-（4m+1）x+4m²+2=0的兩個實數根，求AB的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由AB與AC都為圓的切線，根據切線的性質AC垂直于OC，AB與OB垂直，根據垂直的定義得到兩個角為直角，在直角三角形ACO與直角三角形ABO中，由OC=OB，OA為公共邊，利用HL得出三角形ACO與三角形ABO全等，根據全等三角形的對應邊及對應角相等得到AB=AC，∠1=∠2，根據三線合一得到AO與BC垂直，又BD為圓O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角，得到CD與BC垂直，可得出DC與AO都與BC垂直，則AO平行于CD，得證；
（2）由第一問得到CD與AO平行，根據兩直線平行同位角相等可得出∠3=∠4，再由一對直角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似，可得出三角形BDC與三角形ABO相似，根據相似得比例，將各自的邊長代入即可得出y與x的關系式，并根據直徑為6，圓中的弦長小于等于直徑可得出x的取值范圍；
（3）由CD、AO的長分別為一元二次方程x²-（4m+1）x+4m²+2=0的兩個實數根，根據根與系數的關系表示出xy，根據第二問得出的y與x的關系式得到xy=18，列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，將m的值代入原方程，求出方程的解，可得出CD及AO的值，由CD=OB得出OB的長，在直角三角形ABO中，由AO及OB的長，利用勾股定理即可求出AB的長．

解答：解：（1）連接OC，…（1分）
∵AB、AC是⊙O的切線，
∴∠ACO=∠ABO=90°，
在Rt△ACO和Rt△ABO中，

OC=OB AO=AO

，
∴Rt△ACO≌Rt△ABO（HL），
∴AB=AC，∠1=∠2，
∴AO⊥BC，
∴∠AEC=90°，…（2分）
∵BD是⊙O的直徑，∴∠DCB=90°，
∴∠DCB=∠AEC，
∴CD∥AO；…（3分）

（2）∵CD∥AO，∴∠3=∠4，
∵AB是⊙O的切線，DB是直徑，
∴∠DCB=∠ABO=90°，
∴△BDC∽△AOB，…（4分）
∴

BD

AO

=

DC

OB

，即

6

y

=

x

3

，
∴y=

18

x

，…（5分）
且自變量x的取值范圍為0＜x＜6；…（6分）

（3）∵CD、AO的長分別為一元二次方程x²-（4m+1）x+4m²+2=0的兩個實數根，
∴x•y=4m²+2，…（7分）
又由（2）知y=

18

x

，
∴xy=18，
∴4m²+2=18，
∴m=±2，…（8分）
①當m=2時，原方程可化為x²-9x+18=0，∴x=3或6；
由（2）知x＜6，∴只能取x=3，
∴CD=3，AO=6，
在Rt△AOB中，AO=6，OB=3，
∴AB=

62-33

=3

3

；…（9分）
②當m=-2時，原方程可化為x²+7x+18=0，
∵△=7²-4×1÷18＜0，∴方程無解，…（10分）
綜上，AB的長為3

3

．

點評：此題考查了切線的性質，圓周角定理，等腰三角形的性質，平行線的判定，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，以及根與系數的關系，是一道綜合性較強的題，要求學生掌握知識要全面．