Question

【題目】如圖，矩形中，，，是邊上一點，連接，將沿翻折，點的對應點是，連接，當是直角三角形時，則的值是________

Answer 1

【答案】3或6

【解析】

分兩種情況討論：①當∠AFE＝90°時，易知點F在對角線AC上，設DE＝x，則AE、EF均可用x表示，在Rt△AEF中利用勾股定理構造關于x的方程即可；②當∠AEF＝90°時，易知F點在BC上，且四邊形EFCD是正方形，從而可得DE＝CD．

解：當E點與A點重合時，∠EAF的角度最大，但∠EAF小于90°，

所以∠EAF不可能為90°，

分兩種情況討論：

①當∠AFE＝90°時，如圖1所示，

根據折疊性質可知∠EFC＝∠D＝90°，

∴A、F、C三點共線，即F點在AC上，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC＝，

∴AF＝ACCF＝ACCD＝106＝4，

設DE＝x，則EF＝x，AE＝8x，

在Rt△AEF中，利用勾股定理可得AE2＝EF2＋AF2，

即（8x）2＝x2＋42，

解得x＝3，即DE＝3；

②當∠AEF＝90°時，如圖2所示，則∠FED＝90°，

∵∠D＝∠BCD＝90°，DE＝EF，

∴四邊形EFCD是正方形，

∴DE＝CD＝6，

故答案為：3或6．