Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x²﹣（m+n）x+mn（m＞n）與x軸相交于A、B兩點（點A位于點B的右側），與y軸相交于點C．
（1）若m=2，n=1，求A、B兩點的坐標；
（2）若A、B兩點分別位于y軸的兩側，C點坐標是（0，﹣1），求∠ACB的大小；
（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．
 

Answer 1

(1)A（2，0），B（1，0）；(2)∠ACB=90°；
(3)①當AC=BC時，n=﹣2；
②當AC=AB時，n=﹣；
③當BC=AB時，當n＞0時，n=，當n＜0時，n=﹣．

試題分析：
（1）已知m，n的值，即已知拋物線解析式，求解y=0時的解即可．此時y=x²﹣(m+n)x+mn=(x﹣m)(x﹣n），所以也可直接求出方程的解，再代入m，n的值，推薦此方式，因為后問用到的可能性比較大．
（2）求∠ACB，我們只能考慮討論三角形ABC的形狀來判斷，所以利用條件易得﹣1=mn，進而可以用m來表示A、B點的坐標，又C已知，則易得AB、BC、AC邊長．討論即可．
（3）△ABC是等腰三角形，即有三種情形，AB=AC，AB=BC，AC=BC．由（2）我們可以用n表示出其三邊長，則分別考慮列方程求解n即可．
試題解析：
解：（1）∵y=x²﹣(m+n)x+mn=（x﹣m)(x﹣n），
∴x=m或x=n時，y都為0，
∵m＞n，且點A位于點B的右側，
∴A（m，0），B（n，0）．
∵m=2，n=1，
∴A（2，0），B（1，0）．
（2）∵拋物線y=x²﹣（m+n）x+mn（m＞n）過C（0，﹣1），
∴﹣1=mn，
∴n=﹣，
∵B（n，0），
∴B（﹣，0）．
∵AO=m，BO=﹣，CO=1
∴AC==，
BC==，
AB=AO+BO=m﹣，
∵（m﹣）²=（）²+（）²，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠ACB=90°．
（3）∵A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2，
∴A（2，0），B（n，0），C（0，2n）．
∴AO=2，BO=|n|，CO=|2n|，
∴AC==，
BC==|n|，
AB=xA﹣xB=2﹣n．
①當AC=BC時，=|n|，解得n=2（A、B兩點重合，舍去）或n=﹣2；
②當AC=AB時，=2﹣n，解得n=0（B、C兩點重合，舍去）或n=﹣；
③當BC=AB時，|n|=2﹣n，
當n＞0時，n=2﹣n，解得n=，
當n＜0時，﹣n=2﹣n，解得n=﹣．