Question

【題目】如圖，在ABCD中，對角線BD平分∠ABC，過點A作AE∥BD，交CD的延長線于點E，過點E作EF⊥BC，交BC延長線于點F．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若∠ABC＝45°，BC＝2，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）EF=.

【解析】

（1）證明∠ADB=∠ABD,得出AB=AD,即可得出結論；
（2）由菱形的性質得出AB=CD=BC=2,證明四邊形ABDE是平行四邊形,∠ECF=∠ABC=45°,得出AB=DE=2,CE=CD+DE=4,在Rt△CEF中,由等腰直角三角形的性質和勾股定理即可求出EF的長．

(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AD∥BC,AB=CD,AB∥CD,

∴∠ADB=∠CBD,

∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠CBD,

∴∠ADB=∠ABD,

∴AB=AD,

∴平行四邊形ABCD是菱形；

(2)∵四邊形ABCD是菱形,

∴AB=CD=BC=2,

∵AB∥CD,AE∥BD,

∴四邊形ABDE是平行四邊形,∠ECF=∠ABC=45°,

∴AB=DE=2,

∴CE=CD+DE=4,

∵EF⊥BC,∠ECF=45°,

∴△CEF是等腰直角三角形,

∴EF=CF= .