Question

已知點A、B分別是x軸、y軸上的動點，點C、D是某函數圖象上的點，當四邊形ABCD（A、B、C、D各點依次排列）為正方形時，稱這個正方形為此函數圖象的伴侶正方形．如圖，正方形ABCD是反比例函數y=

2

x

圖象上的其中一個伴侶正方形．則這個伴侶正方形的邊長是

2

．

Answer 1

分析：過C作CF垂直于y軸，過D作DE垂直于x軸，利用垂直的定義得到三個角為直角，再由正方形的性質得到四條邊相等，四個角為直角，利用同角的余角相等得到三個角相等，利用AAS得出△BFC≌△AOB≌△DAE，利用全等三角形的對應邊相等得到FC=OB=AE，FB=OA=DE，再由C、D都在反比例函數y=

2

x

圖象上，故設C（a，

2

a

），D（b，

2

b

），由OA=OE-AE列出關系式，再由OF=FB+OB列出另一個關系式，聯立兩關系式求出a與b的值，確定出CF與FB的長，在直角三角形FCB中，利用勾股定理求出BC的長，即為正方形ABCD的邊長．

解答：解：過C作CF⊥y軸，交y軸于點F，過D作DE⊥x軸，交x軸于點E，
∴∠CFB=∠DEA=∠AOB=90°，
∴∠FCB+∠FBC=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴CB=AB=AD，∠CBA=∠BAD=90°，
∴∠FBC+∠ABO=90°，∠BAO+∠DAE=90°，
∴∠FCB=∠ABO=∠DAE，
∴△BFC≌△AOB≌△DAE，
∴FC=OB=AE，FB=OA=DE，
由C、D都在反比例函數y=

2

x

圖象上，故設C（a，

2

a

），D（b，

2

b

），
∴FC=OB=AE=a，FB=OA=DE=

2

b

，
又FB=DE=OA=OE-AE=b-a，
∴

2

b

=b-a，即b²-ab=2①，
又OF=FB+OB=

2

a

，
∴b-a+a=

2

a

，即ab=2②，
②代入①得：b²=4，
解得：b=2，
將b=2代入②得：a=1，
∴CF=1，FB=b-a=1，
在Rt△BCF中，根據勾股定理得：BC=

CF2+BF2

=

2

，
則這個伴侶正方形的邊長為

2

．
故答案為：

2

點評：此題屬于一次函數綜合題，同時又屬于新定義題，比較復雜，先要正確理解伴侶正方形的意義，特別要注意的是正方形的頂點所處的位置，因為涉及到相關點的坐標，所以過某一點作坐標軸的垂線是必不可少的，再利用正方形的性質和全等三角形的知識確定相關點的坐標即可求解．