Question

已知點A，B分別是兩條平行線m，n上任意兩點，C是直線n上一點，且∠ABC=90°，點E在AC的延長線上，BC=kAB （k≠0）．
（1）當k=1時，在圖（1）中，作∠BEF=∠ABC，EF交直線m于點F．寫出線段EF與EB的數量關系，并加以證明；
（2）若k≠1，如圖（2），∠BEF=∠ABC，其它條件不變，探究線段EF與EB的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）在直線m上截取AM=AB，連接M，易證△MAE≌△BAE，則EM=EB，再根據等角對等邊即可證明EM=EF，從而求證；
（2）過點E作EM⊥m，可以證明四邊形MENA為矩形，進而即可證明△MEF∽△NEB，根據相似三角形的對應邊的比相等即可證得．

解答：解：（1）正確畫出圖形，
EF=EB．
證明：如圖（1），在直線m上截取AM=AB，連接ME．
BC=kAB，k=1，
∴BC=AB，
∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵m∥n，
∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°，
∠FAB=90°，
∵AE=AE，
∴△MAE≌△BAE，
∴EM=EB，∠AME=∠ABE，
∵∠BEF=∠ABC=90°，
∴∠FAB+∠BEF=180°，
∴∠ABE+∠EFA=180°，
又∵∠AME+∠EMF=180°，
∴∠EMF=∠EFA，
∴EM=EF，
∴EF=EB；

（2）EF=

1

k

EB．
說明：如圖（2），過點E作EM⊥m，EN⊥AB，垂足為M，N，
∴∠EMF=∠ENA=90°，
∵m∥n，∠ABC=90°，
∴∠MAB=90°，
∴四邊形MENA為矩形，
∴ME=NA，∠MEN=90°，
∵∠BEF=∠ABC=90°，
∴∠MEF=∠NEB，
∴△MEF∽△NEB，
∴

ME

EN

=

EF

EB

，
∴

AN

EN

=

EF

EB

，
在Rt△ANE和Rt△ABC中，
tan∠BAC=

EN

AN

=

BC

AB

=k，
∴EF=

1

k

EB．

點評：本題主要考查了相似三角形的性質，以及矩形的判定，正確作出輔助線是解題的關鍵．