Question

如圖，P是正三角形ABC內的一點，且PA=6，PB=8，PC=10．若將△PAC繞點A逆時針旋轉60°后，得到△P′AB，則點P與P′之間的距離為

6

，∠APB=

150°

．

Answer 1

分析：連接PP′，根據旋轉的性質得到∠PAP′=60°，PA=PA′=6，P′B=PC=10，利用等邊三角形的判定方法得到△PAP′為等邊三角形，再根據等邊三角形的性質有PP′=PA=6，∠P′PA=60°，由于PP′²+PB²=P′B²，根據勾股定理的逆定理得到△BPP′為直角三角形，且∠BPP′=90°，則∠APB=∠P′PB+∠BPP′=60°+90°=150°．

解答：解：連接PP′，如圖，
∵△PAC繞點A逆時針旋轉60°后，得到△P′AB，
∴∠PAP′=60°，PA=PA′=6，P′B=PC=10，
∴△PAP′為等邊三角形，
∴PP′=PA=6，∠P′PA=60°，
在△BPP′中，P′B=10，PB=8，PP′=6，
∵6²+8²=10²，
∴PP′²+PB²=P′B²，
∴△BPP′為直角三角形，且∠BPP′=90°，
∴∠APB=∠P′PB+∠BPP′=60°+90°=150°．
故答案為6，150°．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了等邊三角形的判定與性質以及勾股定理的逆定理．