Question

【題目】如圖1，拋物線與軸交于點A（4，0），與軸交于點B，在x軸上有一動點E（m，0）（0＜m＜4），過點E作軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M．

（1）求的值和直線AB的函數表達式；

（2）在P點運動的過程中，請用含m的代數式表示線段PN；

（3）設△PMN的周長為，△AEN的周長為，若，求m的值；

（4）如圖2，在（3）條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉得到OE′，旋轉角為α（0°＜α＜90°），連接、，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；直線AB解析式為y=；（2）PN=m2+3m ；（3）2；（4）

【解析】試題解析：（1）（1）令y=0，求出拋物線與x軸交點，列出方程即可求出a，根據待定系數法可以確定直線AB解析式；（2）由△PNM∽△ANE，推出，列出方程即可解決問題；（3）在y軸上 取一點M使得OM′=，構造相似三角形，可以證明AM′就是的最小值；

試題分析：

（1）∵拋物線y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）與x軸交于點A（4，0），

∴a=﹣． ……………………………………………2分

∵A（4，0），B（0，3），

設直線AB解析式為y=kx+b，則，

解得，

∴直線AB解析式為y=﹣x+3 ……………………………………………4分

設點P（m,﹣m2+m+3）

點N在直線AB上則N（）

∴PN=﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m ………………………………6分

（3）如圖1中，

∵PM⊥AB，PE⊥OA，

∴∠PMN=∠AEN，∵∠PNM=∠ANE，

∴△PNM∽△ANE， ……………………………………………8分

∴=，

∵NE∥OB，

∴=，

∴AN=（4﹣m），

∵PN=﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m，

∴=，

解得m=2 ……………………………………………10分

（3）如圖2中，在y軸上 取一點M′使得OM′=，連接AM′交PE于E′，

∵OE′=2，OM′OB=×3=4，

∴OE′2=OM′OB，

∴=，∵∠BOE′=∠M′OE′，

∴△M′OE′∽△E′OB，

∴==，

∴M′E′=BE′，

∴AE′+BE′=AE′+E′M′=AM′，此時AE′+BE′最小（兩點間線段最短，A、M′、E′共線時），

最小值=AM′==。